르베그 공간

함수해석학 22에서 르베그 공간(Lebesgue空間, 영어: Lebesgue space) 또는 Lp 공간(영어: Lp-space)은 절댓값 p {\displaystyle p} 승이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다.

정의

측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 및 음이 아닌 확장된 실수 0 p {\displaystyle 0\leq p\leq \infty } 가 주어졌다고 하고, K { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, 르베그 공간 L p ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간이며, 그 정의는 p {\displaystyle p} 의 값에 따라 다음과 같다.

Lp (0 < p ≤ ∞)

0 < p {\displaystyle 0<p\leq \infty } 가측 함수 f : X K {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {K} } 에 대하여 다음 기호를 정의하자.

p : M ( X ; K ) [ 0 , ] {\displaystyle \|\cdot \|_{p}\colon {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\to [0,\infty ]}
f p = { X | f ( x ) | p d μ p p < inf { C R : μ ( { x X : | f ( x ) | > C } ) = 0 } p = {\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\int _{X}|f(x)|^{p}\mathrm {d} \mu }}&p<\infty \\\inf \left\{C\in \mathbb {R} \colon \mu (\{x\in X\colon |f(x)|>C\})=0\right\}&p=\infty \end{cases}}}

그렇다면, L p {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}} 를 다음과 같은 집합으로 정의하자.

L p ( X ; K ) = { f M ( X ; K ) : f p < } {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )=\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\colon \|f\|_{p}<\infty \}}

여기서 M ( X ; Y ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(X;Y)} 는 두 측도 공간 X , Y {\displaystyle X,Y} 사이의 가측 함수의 집합이며, K {\displaystyle \mathbb {K} } 의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다.

L p ( X ; K ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )} K {\displaystyle \mathbb {K} } 에 대한 벡터 공간을 이루며, 부분 공간

( p ) 1 ( 0 ) = { f M ( X ; K ) | f p = 0 } L p ( X ; K ) {\displaystyle (\|\cdot \|_{p})^{-1}(0)=\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )|\|f\|_{p}=0\}\subseteq {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}

으로 몫공간을 취한 것을 르베그 공간 L p ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 라고 한다.[1]:43, §II.2[2]:31, §1.43; 35, §1.47

L p ( X ; K ) = L p ( X ; K ) ( p ) 1 ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}{(\|\cdot \|_{p})^{-1}(0)}}}

이 위에는 "열린 공"들

{ ball ( f , r ) : r R + , f L p ( X ; K ) } {\displaystyle \left\{\operatorname {ball} (f,r)\colon r\in \mathbb {R} ^{+},\;f\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\right\}}
ball ( f , r ) = { g L p ( X ; K ) : f g p < r } {\displaystyle \operatorname {ball} (f,r)=\left\{g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\colon \|f-g\|_{p}<r\right\}}

을 기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론, p < 1 {\displaystyle p<1} 이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.)

만약 p 1 {\displaystyle p\geq 1} 이라면, p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} L p ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 위의 완비 노름을 이루며, L p ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약 p < 1 {\displaystyle p<1} 이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다.

L0

p = 0 {\displaystyle p=0} 인 경우, L 0 ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )} 은 모든 가측 함수 X K {\displaystyle X\to \mathbb {K} } 의 (동치류의) 공간이다. 즉, K {\displaystyle \mathbb {K} } -벡터 공간 M ( X ; K ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )}

N = { f M ( X ; K ) : μ ( { x X : f ( x ) 0 } ) = 0 } {\displaystyle {\mathcal {N}}=\left\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\colon \mu (\{x\in X\colon f(x)\neq 0\})=0\right\}}

를 정의하였을 때

L 0 ( X ; K ) = M ( X ; K ) N {\displaystyle \operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )}{\mathcal {N}}}}

이다.

이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족

{ d S } S Σ , μ ( S ) < {\displaystyle \{d_{S}\}_{S\in \Sigma ,\;\mu (S)<\infty }}
d S ( f , g ) = S min { | f g | , 1 } d μ {\displaystyle d_{S}(f,g)=\int _{S}\min\{|f-g|,1\}\mathrm {d} \mu }

을 통해 균등 공간 구조를 부여한다.

Lp

만약 X {\displaystyle X} 가 (셈측도를 갖춘) 자연수이산 공간 N {\displaystyle \mathbb {N} } 일 경우,

L p ( N ; K ) = L p ( N ; K ) = p ( K ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\mathrm {L} ^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\ell ^{p}(\mathbb {K} )}

로 쓴다. (셈측도공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우 L p {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}} L p {\displaystyle \mathrm {L} ^{p}} 를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수 f M ( N ; K ) {\displaystyle f\in {\mathcal {M}}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )} K {\displaystyle \mathbb {K} } 값을 갖는 수열이 되고, 노름 p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} 은 다음과 같다.

f p = { i = 0 | f i | p p 0 < p < sup i N | f i | p = {\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=0}^{\infty }|f_{i}|^{p}}}&0<p<\infty \\\sup _{i\in \mathbb {N} }|f_{i}|&p=\infty \end{cases}}}

성질

민코프스키 부등식

만약 1 p {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } 일 경우, p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} 민코프스키 부등식에 따라 노름을 이룬다.

f + g p f p + g p ( f , g L p ( X ; K ) ) {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))}

만약 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} 일 경우, p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} 는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.[3]:816

f + g p 2 ( 1 p ) / p ( f p + g p ) ( f , g L p ( X ; K ) ) {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq 2^{(1-p)/p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))}

증명:

임의의 두 음이 아닌 실수 s , t R 0 {\displaystyle s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}} 에 대하여

( s + t ) p s p + t p 2 1 p ( s + t ) p {\displaystyle (s+t)^{p}\leq s^{p}+t^{p}\leq 2^{1-p}(s+t)^{p}}

가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,

( f + g p ) p = X | f + g | p d μ X ( | f | + | g | ) p d μ X ( | f | p + | g | p ) d μ = ( f p ) p + ( g p ) p 2 1 p ( f p + g p ) p {\displaystyle (\|f+g\|_{p})^{p}=\int _{X}|f+g|^{p}\mathrm {d} \mu \leq \int _{X}(|f|+|g|)^{p}\mathrm {d} \mu \leq \int _{X}(|f|^{p}+|g|^{p})\mathrm {d} \mu =(\|f\|_{p})^{p}+(\|g\|_{p})^{p}\leq 2^{1-p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})^{p}}

이다.

바나흐·힐베르트 공간일 조건

임의의 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} p [ 0 , ] {\displaystyle p\in [0,\infty ]} K { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 에 대하여, 다음이 성립한다.

  • (리스-피셔 정리 영어: Riesz–Fischer theorem) 만약 1 p {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } 라면 L p ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간이다.
  • 만약 1 < p < {\displaystyle 1<p<\infty } 라면 L p ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} K {\displaystyle \mathbb {K} } -반사 바나흐 공간이다. (그러나 p = 1 {\displaystyle p=1} 또는 p = {\displaystyle p=\infty } 인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
  • 만약 p = 2 {\displaystyle p=2} 일 경우 L p ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간이다. (그러나 X {\displaystyle X} 의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.)
  • 만약 K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } 이며 p = {\displaystyle p=\infty } 일 경우 L ( X ; C ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )} 는 가환 C* 대수이다. 만약 X {\displaystyle X} 가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다.

연속 쌍대 공간

임의의 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} K { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 1 < p < {\displaystyle 1<p<\infty } 에 대하여, L p ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.

( L p ( X ; K ) ) = L q ( X ; K ) ( 1 / p + 1 / q = 1 ) {\displaystyle (\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))'=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\qquad (1/p+1/q=1)}

구체적으로, 이 동형 사상은

L p ( X ; K ) × L q ( X ; K ) K {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\times \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }
( [ f ] , [ g ] ) X f ( x ) g ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle ([f],[g])\mapsto \int _{X}f(x)g(x)\mathrm {d} \mu (x)}

이다. 특히, p = 2 {\displaystyle p=2} 일 경우 L 2 {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}} 는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.

그러나 L {\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }} 의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로 L 1 {\displaystyle \operatorname {L} ^{1}} 보다 훨씬 크다. 반면, 만약 X {\displaystyle X} 시그마 유한 측도를 갖추었다면, ( L 1 ) = L {\displaystyle (\operatorname {L} ^{1})'=\operatorname {L} ^{\infty }} 이다.

포함 관계

임의의 두 확장된 실수

0 < p < q {\displaystyle 0<p<q\leq \infty }

가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.

sup { μ ( S ) : S Σ , μ ( S ) } < {\displaystyle \sup\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq \infty \}<\infty }
inf { μ ( S ) : S Σ , μ ( S ) 0 } > 0 {\displaystyle \inf\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq 0\}>0}

그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다.[4]

L p ( X ; K ) L q ( X ; K ) {\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}
L p ( X ; K ) L q ( X ; K ) {\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\supseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}
㈎와 ㈏가 동시에 성립 L p ( X ; K ) = L q ( X ; K ) {\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}

대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.

측도 공간
유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 위의 르베그 측도 ( n > 0 {\displaystyle n>0} )
유한 집합 위의 셈측도
무한 집합 위의 셈측도
유클리드 공간 속의, 양의 유한 측도의 르베그 가측 집합

유한 집합

X {\displaystyle X} 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의 0 p {\displaystyle 0\leq p\leq \infty } 에 대하여

L p ( X ; K ) = K X {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{X}}

이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은 K {\displaystyle \mathbb {K} } 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은 X {\displaystyle X} 크기이다.

p {\displaystyle p} 의 값에 따라, K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.

f p = x X | f ( x ) | p p ( 0 < p < ) {\displaystyle \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{x\in X}|f(x)|^{p}}}\qquad (0<p<\infty )}
f = max x X | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\max _{x\in X}|f(x)|}

만약 p = 2 {\displaystyle p=2} 일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며, | X | 2 {\displaystyle |X|\geq 2} 이자 1 p 2 {\displaystyle 1\leq p\neq 2} 일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.

수열 공간

X = N {\displaystyle X=\mathbb {N} } 일 경우, p {\displaystyle p} 의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간 p ( K ) {\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )} 공간의 성질은 다음과 같다.

p {\displaystyle p} 의 범위 p ( K ) {\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )} 의 성질
0 p < 1 {\displaystyle 0\leq p<1} K {\displaystyle \mathbb {K} } -위상 벡터 공간 ( K {\displaystyle \mathbb {K} } -국소 볼록 공간이 아님)
1 p < 2 {\displaystyle 1\leq p<2} K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간
p = 2 {\displaystyle p=2} 분해 가능 K {\displaystyle \mathbb {K} } -힐베르트 공간
2 < p {\displaystyle 2<p\leq \infty } K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간

디랙 측도

집합 X {\displaystyle X} 속의 원소 x 0 X {\displaystyle x_{0}\in X} 가 주어졌으며,

μ ( S ) = { 1 S x 0 0 S x 0 {\displaystyle \mu (S)={\begin{cases}1&S\ni x_{0}\\0&S\not \ni x_{0}\end{cases}}}

라고 하자. 그렇다면, 0 p {\displaystyle 0\leq p\leq \infty } 에 대하여, L p ( X ; K ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )} 는 다음과 같다.

L p ( X ; K ) = K {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} }
f p = | f ( x 0 ) | ( 0 < p ) {\displaystyle \|f\|_{p}=|f(x_{0})|\qquad (0<p\leq \infty )}

역사

"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.

2 {\displaystyle \ell ^{2}} 공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리).[5]:V.83, Note historique 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.[5]:V.84, Note historique 힐베르트의 이론을 p 2 {\displaystyle p\neq 2} 로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다.[6]:§3, 457–459[5]:V.86, Note historique 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호 L p {\displaystyle \operatorname {L} ^{p}} 를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성 L p = L q {\displaystyle {\operatorname {L} ^{p}}'=\operatorname {L} ^{q}} ( 1 / p + 1 / q = 1 {\displaystyle 1/p+1/q=1} )을 증명하였다.

같이 보기

참고 문헌

  1. Schaefer, Helmuth H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological vector spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
  2. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
  3. Day, Mahlon M. (1940). “The spaces Lp with 0<p<1”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (10): 816–823. doi:10.1090/S0002-9904-1940-07308-2. ISSN 0273-0979. MR 2700. 
  4. Villani, Alfonso (1985). “Another note on the inclusion Lp(μ) ⊂ Lq(μ)”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 92 (7): 485–487. doi:10.2307/2322503. JSTOR 2322503. MR 801221. 
  5. Bourbaki, Nicolas (1981). 《Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)》. Éléments de mathématique (프랑스어). Masson. 
  6. Riesz, Frigyes (1910). “Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 69 (4): 449–497. doi:10.1007/BF01457637. ISSN 0025-5831. 

외부 링크

  • Weisstein, Eric Wolfgang. “L^p-space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
  • Weisstein, Eric Wolfgang. “L^2-space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
  • “Lebesgue space”. 《nLab》 (영어). 
  • Tao, Terrence (2009년 1월 9일). “L^p spaces”. 《What’s New》 (영어).